原创《数形结合的实践》
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【摘 要】本文针对目前学生在数学练习中普遍存在解题慢、正确率低的现象,阐述利用数形结合的思想方法培养学生抽象与逻辑思维能力、提高学生解题速度和正确率的策略.
【关键词】高中数学 数形结合 抽象思维 逻辑思维 解题速度
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2017）01B-0156-02
习题练习是学习数学知识基础、强化和巩固学生的课堂知识、有效提升学生数学能力的方式.高中的数学知识内容设定难度较高,需要学生掌握的重点难点知识较多.因此,高中数学教师要重视学生的解题思维的培养,让学生在解题过程中更好地消化和吸收课本上的知识,进一步提升学生的数学学习能力.笔者在学生的课堂习题练习中,重视数形结合的应用,让学生顿悟数学习题中的解题关键,提升学生的学习效率.
一、借数推形,提高抽象思维能力
高中数学知识具有一定的抽象性,这对于一部分抽象思维能力较弱的学生来说,数学是一门难度很大的学科.这类学生在面对抽象的数学习题时会有无从下手的感觉,一下子找不到解题的方向,由此增大思索的难度,无形中也增加了解题的时间.面对这类问题,笔者在课堂上的习题讲解中常常鼓励学生以数推形的思维方法来分析,通过直观的计算来化解图形的抽象性,有效地提升学生的解题速度,提高学生的抽象思维能力.
例如,人教版高中数学菱形知识的练习题中,菱形的面积计算是每个高中学生必须掌握的知识之一,由于其具有一定的难度和抽象性,简单的计算学生都能够轻松应对,但是,如果一旦题目进行了变形或增加了难度,那么对于那些抽象能力较差的学生来说,就成为了不可能攻克的难关.为此笔者鼓励学生通过计算来推导并解图,突破学生的抽象困境.例如：“A,C 两点是菱形 ABCD 的顶点,并位于 x2+3y2等于4 的椭圆上,其中对角线 BD 所在的直线的斜率为 1,请求当角 ABC 为 60 度时,菱形 ABCD 的面积”此题是计算菱形面积的变形题,学生面对此类问题会不知道该怎样去思考.笔者在课堂上进行了计算的推演来提升学生对问题的认识.本题的解题关键在于菱形边长 AB,BC,CA 的绝对值是相等的,由此可以推出菱形的面积为 ,经过计算推得 ,所以根据计算可以推得结论,所以 n 为零时,菱形的面积最大为 .通过计算将几何图形问题进行了有效的转化,降低了解题的难度和题目的抽象性,为抽象思维能力差的学生提供了有效的分析指导.学生在计算过程中对各种公式的应用,也使其对相关知识进行了梳理,强化了课堂知识.在解题过程中,学生通过以数推形提升了自己的抽象思维能力.
在日常的教学中,要教会学生灵活处理,随机应变.在几何问题上适当地进行算术化思考,摆脱抽象思维的束缚,提高自己的做题效率.
二、借形导数,提升学生的逻辑思维能力
高中数学知识中代数部分具有一定的逻辑难度,要求高中学生具备一定的逻辑思维解题能力.其和抽象性相同,是学生学习中的弱势所在.高中学生在解决数学习题中主要存在思路窄、缺乏有效的解题思维能力、正确率不高等问题,这些问题严重影响学生的成绩.针对这种情况,笔者对学生在学习中遇到的具体问题进行分析,并根据实际情况提出了解决的方法—— 以形导数,将看似复杂的函数问题,通过引入图形,使学生识图顿悟,让学生迅速找到解题的方向.
例如,人教版高中数学课本中常见的求最值的问题.此类问题难度较高,抽象性很强,是学生平时做题中较薄弱的地方,也是平时测试中容易丢分的部分.笔者引导学生利用图形来配合思考,让学生通过引入图形来找到函数问题中的解决方向,让学生突破逻辑思维困境,轻松解决难题.例如：“已知 A（-2,0）,B（0,2）,C 是圆 x2+y2-2x等于0 上的一点,试求出三角形 ABC 的最小值面积.”这是学生错误率较高的题.学生,见到这样的题目后会习惯性地建立三角形面积的函数表达式,然后进行求解.虽然这个思路是正确的,但是在使用公式 或者是其他的公式时,要先求出三角形的底与高,这个求解过程会非常繁琐,增加解题的时间.因此,引入图形来配合解题就显得非常必要了.笔者指导学生画出草图,见图 1.
通过图解极大地简化了题目的难度,然后再从关键点入手,学生将 AB 作为三角形的底,则高就是 C 到 AB 的距离.由此看出求出 AC 与圆相切的上切点 C 与 AB 所成的三角形的面积最小,此时直线 AC 的方程为 ,由此推导出 .图形的结合将复杂的函数问题转化为几何知识,提高了学生的做题速度,让学生避免了因用常规做法而浪费时间,并且提高了习题的正确率.
图1
我们在日常的教学中要重视学生的每个错误,究其原因,找到帮助学生做好题的方法.在指导学生解题的时候,要注意学生之间存在的个体差异,以及对问题不同的理解,因此,我们要根据学生的实际情况进行相应的指导,借形导数培养学生的逻辑思维能力.
三、数形结合,化繁为简
在教学中,我们既要向学生传授数学知识,又要培养学生利用数学知识解决问题的能力,引导学生运用自己所学知识解决生活、生产中的数学问题,这才是我们的教学目标所在.因此,笔者重视培养学生数形结合的解题思想,让学生在练习中充分发挥自己的抽象思维与逻辑思维能力.
例如,函数与方程的问题,它们是学生学习的重点内容,也是学生的弱势部分,特别是函数与方程的结合形式,更是学生不敢面对的难题.笔者在课堂讲解中有意识地引导学生利用数形结合的方法来进行求解,提高解题速度,打开思维上的枷锁.例如：“当 0＜a 且 a≠1 时,判断 ax+1等于-x2+2x+2a 的解的个数.”此题实际上就是求解曲线和 x 轴的交点个数问题.学生面对这道题时,会选择用解方程的方式来求解,但在进一步的求解中发现这个思路是不通的,这种解法思想是错误的,它会花费很多的解题时间,即便能求解出来答案也容易出错.在此情况下,教师就可以引导学生利用数形结合的方法来进行求解.设 u等于ax+1,v等于-x2+2x+2a（a>0,a≠1）,并画出这两个函数图形如下（图 2,图 3）：
图2
图3
通过图形学生可以容易地看出此题的答案就是这两个函数的交点,即 4 个交点.通过数形结合的方法我们可以把一些看起来很复杂的数学问题简单化,找到解决问题的突破口,得到答案.这样就能解开学生的思维束缚,让学生在顿悟中发现自身存在的不足,在今后的学习过程中加以克服并改正,提高了学生的做题速度,并强化了学生的知识掌握程度.
数形结合思想方法能够更好地培养学生的逻辑思维和抽象思维能力,有效地简化习题难度,有效地提升学生的解题速度和正确率.我们在日常的教学中,要对学生进行方法上的指导,为学生今后能够更快更好地学习新知识提供帮助.
【参考文献】
［1］王玉燕．例谈“数”＋“形”解题［J］．中学数学研究,2008（5）
［2］罗贤明．从“数形结合”谈辩证思维能力的培养［J］．铜仁学院学报,2007（S1）
［3］王俊平．数形结合的原则与途径［J］．高中数学教与学,2006（2）
（责编 卢建龙）
数形结合论文参考资料：
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