原创《有指导的再创造：让赵爽弦图融入勾股定理教学》
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摘 要：教学“勾股定理”时,可以从一般到特殊,引出学生对直角三角形的认识,接着基于“有指导的再创造”方法,从特殊到一般,介绍“赵爽弦图”,安排学生利用“赵爽弦图”证明勾股定理.其依据在于：勾股定理博大精深,教学需要保持谨慎谦逊,舍弃不可信的传说,并渗透中国传统文化；勾股定理教法多样,关键在于落实过程目标,避免“从零开始”的艰难探索.
关键词：有指导的再创造赵爽弦图勾股定理教学设计
“勾股定理”教学是很多教研活动的热点话题,“教教材”还是“用教材教”是很多同课异构的主要不同.“教教材”一派往往是从毕达哥拉斯在友人家做客,由网格地砖得到灵感,发现等腰直角三角形三边的平方关系出发,推广到一般,借鉴欧几里得的面积转化证明思路,设计数方格算面积的活动,验证直角三角形三边的平方关系,然后介绍“赵爽弦图”等拼图证明方法.最近我们在一次教研活动中,教学“勾股定理”（第1课时）时,首先从一般到特殊,引出学生对直角三角形的认识,接着基于“有指导的再创造”（弗赖登塔尔）方法,从特殊到一般,介绍“赵爽弦图”,安排学生利用“赵爽弦图”证明勾股定理,也取得了比较好的效果.下面具体阐述,以供研讨.
一、“勾股定理”教学流程
(一)从对直角三角形的认识开始
问题1同学们对直角三角形（如图1）有哪些认识？
教学预设：学生知道,直角三角形两个锐角互余,直角三角形斜边大于任意一条直角边.学生还对一些特殊的直角三角形,如含30°角的直角三角形（如图2）和含45°角的直角三角形（如图3）,有一定的认识：它们的角都可以求出来,它们的边角之间具有一定的关系,如30°角所对的直角边等于斜边的一半（即图2中c＝2a）,含45°角的直角三角形是等腰直角三角形（即图3中a＝b）.
(二)利用“赵爽弦图”研究勾股定理
问题2中国古人很早就研究了一种特殊直角三角形,就是直角边分别为3、4的直角三角形；并运用了多种拼图的方法,认识这种直角三角形三边之间的数量关系.比如著名的“赵爽弦图”（如图4）,它由4个全等的直角三角形（直角边分别为3、4）拼成.同学们能利用“赵爽弦图”求出大正方形的边长吗？
教学预设：学生利用面积法很快可以求出大正方形的边长为5,即两条直角边为3、4的直角三角形的斜边为5.
问题3请同学们继续利用“赵爽弦图”来研究更一般的直角三角形的三边有怎样的数量关系.设直角三角形ABC中∠A、∠B、∠C所对的三边分别为a、b、c,用4个这样的直角三角形拼成如图5所示的“赵爽弦图”,请探究a、b、c之间的数量关系.
教学组织：学生先独立思考,再小组交流.小组内发现并确认答案（a2＋b2＝c2）后,再派代表在全班展示汇报.师生确认后,形成勾股定理的板书（包括文字、符号表示）.
(三)理解勾股定理的其他证法
问题4前面,同学们利用“赵爽弦图”证明了勾股定理.事实上,勾股定理的证法很多.有人曾经出过一本书,收集整理了几百种勾股定理的证法.我们继续来看其他拼图法.据说图6所示是毕达哥拉斯用过的方法.你们能看懂这种拼图证法吗？
教学组织：学生先独立思考,再小组交流,最后全班汇报展示.教师先追问其他学生是否听懂,再复述思考过程,以达到巩固理解的效果.
问题5图7是将一个长方形绕一个顶点旋转90°得到的.据说,第20任美国总统加菲尔德就是利用图7中梯形ABCD的面积证明勾股定理的.你能看懂“总统证法”吗？
教学预设：设长方形的长、宽分别为a、b,对角线为c,则可以用不同的方法表示梯形
追问有人发现图6、图7两种证法本质上是一样的.对比一下,你们觉得这种说法有道理吗？
教学引导：通过对比可以发现图7是图6的“一半”,可以用图8来演示.
(四)课堂小结与勾股定理的初步运用
首先,小结：“本节课我们从直角三角形出发,了解了中国古代的‘赵爽弦图’,并利用它证明了勾股定理,也学习了其他两种拼图证法.当然,勾股定理还有很多证明方法.而且,勾股定理用途很广泛,与很多数学分支都有紧密的联系.”
接着,安排一组练习（主要是直角三角形中给定两边求第三边的训练题,这里略去）,让学生运用和巩固勾股定理.
二、关于勾股定理的教学思考
(一)勾股定理博大精深,教学需要保持谨慎谦逊
对于作为“千古第一定理”的勾股定理,不同的古代民族都有独立而原创的研究与发现.在勾股定理的探索与证明上,中国古人也有到独特的贡献（比如“赵爽弦图”等拼图方法）.这也是我们在研究教材后,舍弃教材上关于毕达哥拉斯观察地砖而发现直角三角形三边关系的传说的原因.我们常常见到一些年轻教师在向学生介绍勾股定理的数学史（特别是有些不可信的传说）时的那份自信和夸大.这实在让人遗憾.面对经典数学,我们应该保持谨慎、谦逊的态度,实事求是地介绍客观的数学史实,而不是以传说替代史实,给学生造成不好的印象.值得一提的是,当前国家层面课程标准倡导重视中国传统文化的教学渗透,而像勾股定理这样的数学知识凸显了中国古人的智慧,能确实增强学生数学上的自信心和自豪感.因此,包括教材编写在内,应该增加中国古代对勾股定理等研究的内容,以便教师备课时参考选用.
（二）勾股定理教法多样,关键在于落实过程目标
勾股定理教法多样,充分体现了教无定法的理念,其关键在于对教学目标的确定.除了知识层面上要让学生掌握直角三角形三边之间的平方关系之外,最为关键的就是如何获得勾股定理：是一味地追求自主发现,鼓励学生“原创证法”,还是基于数学史引出一些证法的思路,让学生跟进理解、消化吸收前人的方法？就笔者目前听课所见,前者追求“从零开始”的艰难探索,导致学生很难在课堂上有真正的独创发现,最后还是得教师引导或告知；后者基于“有指导的再创造”,相对可以让所有的学生在课堂上有更多的参与,也有获得勾股定理证明的成就感.
*本文系江苏省中小学教学研究第十二期立项课题“基于核心素养发展的初中数学实验教学研究”（编号：2017JK12-L117）的阶段性研究成果.
参考文献：
［1］ 蒲淑萍,汪晓勤．教材中的数学史：目标、内容、方式与质量标准研究［J］．课程·教材·教法,2015（3）.
［2］ 蔡宗熹．千古第一定理——勾股定理［M］．北京：高等教育出版社,2009.
［3］ 【荷】弗赖登塔尔．作为教育任务的数学［M］.陈昌平,唐瑞芬等译．上海：上海教育出版社,1995.
［4］ 刘东升．基于HPM视角重构“勾股定理”起始课［J］．教育研究与评论（课堂观察）,2016（1）.
勾股定理论文参考资料：
该文结论：上述文章是一篇关于勾股定理和赵爽弦和融入方面的相关大学硕士和勾股定理本科毕业论文以及相关勾股定理论文开题报告范文和职称论文写作参考文献资料。
