原创《巧借几何直观轻松学数学》
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［摘 要］面对抽象的数学概念、复杂的数量关系、枯燥的算理、捉摸不清的规律等数学知识,教师可以利用几何直观把教学资源变静态为动态、变枯燥为鲜活、变无形为有形,让学生轻松学数学.借助几何直观明晰概念、探索规律、分析关系；拓展几何直观的应用,挖掘有关教学素材；重视数形结合,培养画图意识,是几何直观教学的有效手段与途径.
［关键词］几何直观；概念；规律；数量关系；画图
［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2017）05-0031-02
作为一名长期从事小学数学教学的一线教师,笔者经常听到学生对数学这门学科发出感慨,如“数学好难啊！”“数学很神秘.”“我根本听不懂,好难理解啊.”……这或多或少反映出学生在学习数学过程中普遍感觉很难,信心与兴趣不足.对于以形象思维为主的小学生来说,怎样让他们更轻松地学习数学,感受数学的魅力,一直是困扰数学教师的难题,而借助几何直观这把钥匙,就可以有效帮助学生打开通往神秘的数学世界的大门.
一、几何直观的本质
“几何直观”是《义务教育数学课程标准》（2011年版）提出的十个核心概念之一,也是新增的一个核心概念.课程标准指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中发挥着重要作用.”其中第一句话是对几何直观的两种表现形式做的精炼概括,后两句则表明了几何直观的作用.
那么,几何直观到底是什么？德国数学家克莱因认为：“数学的直观是对概念、证明的直接把握.”我国著名的数学家、教育家徐利治教授指出：“直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想,所产生的对事物关系直接的感知与认识,而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知.”也就是说,几何直观能够帮助人们将自身体验与外物体验建立起对应关系.其实,小学数学课堂历来重视直观教学,但过去的教学更多的是侧重于直观感知.如今的几何直观不再满足于感性认识,还强调利用图形洞察问题的本质.总的来说,几何直观既是一个过程,又是一个结果,既有形象思维的特点,又有抽象思维的特点,两者相互交织,互相关联.
二、几何直观的应用
面对抽象的数学概念、复杂的数量关系、枯燥的算理,教师可以利用几何直观进行教学,使教学资源变静态为动态、变枯燥为鲜活、变无形为有形,从而使学生的数学学习变得轻松愉快.现结合具体的例题说明几何直观在课堂教学中的应用.
1．借助几何直观明晰概念
小学数学概念大都是通过对同类事物中若干不同例子进行感知、分析、比较和抽象,以归纳方式概括出这类事物的本质属性而获得的.每建立一个全新的概念,教师都应把握好概念的内涵与外延,避免学生混淆概念.
如教学“方程的意义”时,我通过一架天平自然地架起“方程”这一概念与学生思维的桥梁.教学时,我充分利用天平的直观性,使学生通过不平衡和平衡的反复比较,初步感知物体质量与砝码质量之间产生的不相等和相等关系,体会数量之间的联系.等式是方程的生长点,为了使学生更好地理解方程的意义,在脱离天平之后,可通过分类建立等式的概念,在此基础上再对等式进行分类,揭示方程的本质——含有未知数的等式.到这里,学生对方程的意义是否已经真的明晰了呢？我让学生从黑板上密密麻麻的式子中分别圈出等式和方程.结果,部分学生就把方程归为一类,把不是方程的等式归为一类.显然,这部分学生混淆了等式和方程的概念.这时通过辨析、反思、调整,“方程一定是等式,等式不一定是方程.”的结论便在学生的头脑中得到强化.
从新课开始天平图的使用,到探究新知过程中韦恩图的几次运用,教师借助几何直观让概念逐渐明晰,让学生经历从生活情境到方程模型的建构过程,感受集合思想.
2．借助几何直观探索规律
图形直观、形象的特点,决定了化数为形往往能够达到以简驭繁的目的.有时图形中隐含着数的规律,可利用数的规律来解决图形的问题；有时利用图形直观地揭示数学规律,解释一些比较抽象的数学原理,可让人一目了然.
如握手中的数学问题：20个人每两人握手一次,一共要握手多少次？教师引导学生画出表格化繁为简,从最简单的问题入手,用两个点表示两个人,握手一次可以用两个点间的连线来表示,然后在逐渐增加条件的过程中探索规律.学生借助简单的示意图,可以清楚地知道有多少人握手,握手的总次数就是从1加到比握手的总人数少1的数,进而建立数学模型,即平面上的n个点可以连成［1＋2＋3＋4＋…＋（n－1）］条线段.
又如植树问题,可用形象的图形辅助理解.学生通过画出线段图,发现植树问题可能存在三种情况：
教材中“数学广角”的许多内容都可以借助几何直观帮助学生探究规律,同时渗透数学思想方法,使学生深刻感受数学的魅力.
3．借助几何直观分析关系
几何直观是解决问题行之有效的方法.例如,教学用乘除两步计算解决含有“归总”数量关系的实际问题“小华的钱买3元一本的笔记本,正好可以买8本.用这些钱买4元一本的笔记本,可以买几本？”时,由于题中涉及总价相等这一数量关系,用示意图很难表示,而且数据较大,画起来也很麻烦.这时,可以用上下两条长度相等的线段表示总价不变,再将线段平均分成相应的份数.这样既能清楚地说明总价一定,又能体现单价与数量的关系.通过画线段图,可建立起“归总”问题的模型,即“总量不变,需要先用乘法算出总量”的数学模型.画线段图是一个“去情境化”的过程,它能把情境化的数量关系进行提炼,并进行直观表达.可见,几何直观在分析数量关系、解决问题过程中有着不可替代的作用.
4．借助几何直观理解算理
小学生的抽象思维不足,需要借助直观模型来帮助理解,尤其在面对枯燥难懂的算理时.
例如,教学“分数乘法”的算理时,教师可以利用长方形模型进行教学.对分数乘法计算算理的探索与理解历来是教学的难点.根据学生的思维特点,教师可引导学生对一张长方形纸进行折叠和涂色等操作活动,借助几何直观,数形结合,使学生在理解分数乘法算理的基础上掌握算法.
又如教学“分数除法”的算理时,教师可借助线段图去解释说明；教学“两位数乘两位数”时可利用面积模型来解释算理；教学“乘法分配律”时,则可利用小棒图去解释笔算除法、笔算减法（退位）、笔算加法（进位）的算理；等等.借助几何直观,变“看不见”为“看得见”,可最大限度地降低学生理解算理的难度.
三、几何直观能力的培养
1．从低年级做起,重视直观感知
培养学生的几何直观能力不是一蹴而就的,应从低年级开始就予以重视.教师应充分利用挂图、实物、学具等激发学生的学习兴趣,通过直观教具、直观图形与数学符号的互相转换,引导学生逐步学会利用图形描述和分析数学问题.学生的指尖上充满了智慧与创造力,教具演示与动手操作相互配合,就能促进学生建立知识的表象,发展学生的数学思维能力.
2．拓展几何直观的应用,挖掘教学素材
越是抽象、难以理解的内容,教学时就越应该借助几何直观.如果教师只是偶尔呈现相关材料,学生被动地接受结果,那么学生几何直观能力的培养根本无从谈起.所以教师应该有意识地拓展几何直观的应用范围,挖掘出可持续的学习素材,让学生能经常性地使用,这样才能让几何直观这种方法被学生自主内化.从一年级开始,教师就要有意识地引导学生画出直观示意图,然后逐渐过渡为线段图、韦恩图、面积图等直观图,由浅到深,使学生能够灵活运用几何直观解决问题.
3．重视数形结合,培养画图意识
小学数学教材自始至终都贯彻着数形结合的思想,数与形相结合,相辅相成.“形使数更直观”,教师应在教学中寻找教学契机,培养和发展学生的画图意识.事实上,不仅仅在解决问题上,画图策略也广泛应用于小学数学中.教师可以鼓励学生运用图、表格、语言、符号等对某一概念和规律进行多重表达,在解决问题缺乏思路时鼓励学生画图分析,鼓励学生运用图形来表达自己的思考过程.以前的教学只强调画线段图,其实学生画的许多示意图在本质上与线段图没有太大的差别.因此,教师要重视学生自己画的示意图,挖掘图中的价值.学生画图的过程应该与数学思维过程紧密结合,教师要把这种联系凸显出来,如鼓励学生说出画图的依据、图的意思、表达思路等.
正如我国著名数学家华罗庚所说：“数形结合百般好,隔离分家万事休.几何代数统一体,永远联系莫分离.”教师在教学中应对几何直观的应用予以足够的重视,在培养学生几何直观能力的过程中,启迪学生的思维,发展学生的数学思维能力,让学生轻松学数学,实实在在地感受到数学的魅力.
［ 参 考 文 献 ］
［1］ 吴正宪,王彦伟,韩玉娟．吴正宪给小学数学教师的建议［M］．上海：华东师范大学出版社,2012．
［2］ 张丹．小学数学教学策略［M］．北京：北京师范大学出版社,2010．
（责编 吴美玲）
轻松学数学论文参考资料：
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