原创《几何直观在二年级除法意义教学中的应用》
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【摘 要】 几何直观能够表征抽象的数学概念和关系,更易于学生获得数学理解.笔者在教学中发现,二年级的学生仍以具体形象思维为主,理解和建立除法意义对他们来说具有一定的难度.能否引入几何直观来帮助学生理解除法意义的发生、发展过程？笔者对几何直观在除法意义教学中的形式与应用作了分析与实践,实现学生对除法意义的深度理解和灵活应用.【关键词】 几何直观；除法意义
几何直观,既是一个过程又是一个结果,具有动态性、模型性.教学中我们要利用几何直观,引领学生从抽象走向直观再走向抽象,帮助学生建立数学模型,培养学生几何直观能力.
在教学中我们应该培养学生几何直观的意识,引导学生在主动尝试中感受利用几何直观帮助抽象意义理解的价值,不断积累几何直观的经验,实现除法意义的深度理解和灵活应用.
一、几何直观在除法意义教学中的两种形式
笔者认为,几何直观在二年级除法意义的教学中具体表现为如下二种表现形式：
一是实物直观.二年级学生以具体形象思维为主,借助实际存在物（实物或直观图）进行简捷、形象的思考和判断.如右图,在将“12 个苹果平均分成3 堆”的操作活动中,借助苹果或学具这样的实际存在物进行平均分的活动,帮助学生理解平均分的含义、过程和方法,并为除法意义的学习奠定基础.所以,无论是实物（图）还是借助学具图经历操作演示,都是把复杂、抽象的平均分问题变得直观、简单,易于学生理解.
又如右图,利用直观图,为学生想商提供形象上的支撑,并让学生体会乘除法算式之间的联系,最终帮助理解用乘法口诀求商的道理,初步形成算法.所以,这样的实物图能激发学生的直观禀赋,让学生获得直接的感知,并且让学生在“数”与“形”的一一对应中,获得更深刻的理解.
二是简约符号模型直观.对于二年级的学生,在实物直观的基础上,可以进行一定程度的抽象,建立图式表象.如右图,已经从具体的直观图过渡为较抽象的点子图.可以让学生在图上圈一圈、画一画来加强对平均分的认识.还可以让学生说说小圆点代表什么？这幅图又表示什么,为学生用画图的方式来分析数量关系作好准备.
另外,在解决问题中,可以利用线段图将具体问题和运算的意义联系起来,使复杂的数量关系直观化、形象化、简单化.如“打一个这样的结需要2 分钟,10 分钟可以打几个结？”在线段图中学生就很容易理解：本题就是求10 里面有几个2,用除法计算.
几何直观在二年级除法意义的教学中应用相当广泛.对于二年级学生来说,几何直观简明、形象地展现了数学知识和问题的实质,为他们创造了一个自己主动思考的机会,有助于数学的理解和思维能力、解决实际问题能力的提高.所以,几何直观的有效培养对于他们来说是相当必要的.
二、除法意义的理解引入几何直观
课标中特别强调：重视从学生的已有知识中学习数学和理解数学.可见,学生学习数学中的理解实质上也是学生原有认知结构与所学新内容相互作用的结果.这就要求我们重新关注到计算教学的原点,从乘、除法的意义着手借助几何直观来提高理解的深度和宽度.
1.“回潮”知识原点,“叩问”乘除关系以右图为例,
①每只小猴分到3 个桃子,4 只小猴一共分到几个桃子？
② 12 个桃子,平均分给4 只小猴,每只小猴分到几个？
③ 12 个桃子,每只小猴分到3 个,可以分给几只小猴？
让学生在三次动手摆一摆、动口说一说的过程中理解：乘法结构是在加法结构的基础上形成的高层次的数学认知结构.加法的结构是几部分合起来求整体.而乘法的结构是要求同样的几部分合起来求总,这个求“总”就是几个几的和（如图①）.
除法可以从乘法结构中体现,它就是把“总”平均“分”,要求分得的结果每个部分一样多,于是就有了除法的两种不同情况（如图②、③）.
乘法是合的过程,除法是分的过程.借助实物演示,能帮助学生初步感知乘除法的关系,为学生建立合理的认知结构提供机会与条件,提高学生对除法意义认知的层次,引领学生思维向纵深发展.
所以,在除法意义的教学中,我们要重视培养学生的几何直观意识和运用能力——当遇到抽象理性的问题时,能主动地退到适合的直观层面上去推动思维的开展.
2.“感悟”乘除互逆,“明晰”乘除算法
仍以右图为例,请学生写出乘除法算式,讨论算式中的3、4、12 在图中分别表示什么？由具体数所表示的意义和它们在乘除法算式中的位置,沟通乘除法之间的关系,理解算理,形成算法.进一步把这3 个数放到乘除法的结构图中去感悟,利用直观模型,让学生感受三个“□”中的数在乘除法算式中的位置,理解乘法中的积就相当于除法中的被除数,乘法中的乘数就相当于除法中的除数和商.通过数与图的一一对应关系,帮助学生体会乘除法之间的互逆关系,并在“表格”形式的训练中,使学生对乘法算式中三个数之间的关系以及除法算式中三个数之间的关系有更深刻的认识,同时沟通乘除法之间的关系.以5÷ ？ 等于5 为例,可以想乘法算式5×1等于5,也可以想除法算式5÷5等于1 等.
回归乘除法的知识实质,借助几何直观,我们既要看到乘除法的不同,更要看到它们相同的地方,在对比中提升对乘除法概念本质的认识,沟通乘除法的联系.因此,在教学中,要让学生学会用几何直观来帮助概念的理解,并学会利用几何直观沟通知识的本质,比较知识组织学生交流、比较直观图的异同,最终在数学理解方面实现质的飞越.
总之,对于许多数学问题,必须在直观的基础上进行分析与思考.因此,在我们的教学中,要根据学生的实际情况与教学内容,灵活地引入几何直观,让学生经历独立尝试、交流共享、碰撞完善的过程,并从中获得直观的、深刻的数学理解.但是,几何直观并不是必备过程与目的,适合学生学习的方法就是最好的方法.
应用研究论文参考资料：
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