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《自动控制原理之相对稳定性概念的教学》

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陈凤祥1,2

（1.同济大学汽车学院,上海201804；2.同济大学新能源汽车工程中心,上海201804）

摘要：传统教材针对一类系统给出了相位裕度和增益裕度定义,但无法直接应用到一般的线性系统之中.

同时这些教材利用Nyquist和Bode图对一般系统的绝对稳定性判定又具有普适性.为此本文基于相对稳定性的基本理念,通过对一般线性系统相对稳定性的分析,引入了系统的上相位裕度、下相位裕度和上增益裕度、下增益裕度的定义.

关键词：自动控制；相对稳定性；相位裕度；幅值裕度；

中图分类号：TP1 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）03-0207-03

收稿日期：2016-09-10

基金项目：2015年度上海市本科重点课程（自动控制原理）资助

作者简介：陈凤祥（1978-）,男,博士,副教授,从事自动控制原理教学和燃料电池控制技术研究.

控制系统的基本要求一般可归结为：稳定性、快速性、准确性三方面.稳定是控制系统的重要性能,也是系统能够工作的首要条件.控制系统在实际运行当中,或多或少地受到外界和内部一些因素的扰动,若系统不稳定,就会在这些扰动作用下,偏离原来的平衡状态,并随时间的推移而发散.因此,自动控制原理占了很大篇幅都在讨论系统稳定性的判定.控制系统的稳定与否是绝对稳定性的概念.而对一个稳定的系统而言,还有一个稳定的程度,即相对稳定性.在设计一个控制系统时,不仅要求它是绝对稳定的,而且还必须保证它具有一定的稳定程度,只有这样,系统才能抵抗因模型精度、系统参数变化等原因引起的系统性能变差甚至不稳定.这样就引出了相位裕度和增益裕度的定义.目前教材中[1,2]关于相位、增益裕度的讲解大多都是针对一类线性系统,其Nyquist曲线只与实轴与单位圆各只有一个交点,当多于一个交点时则会产生歧义而无法定义.但在利用Nyquist和Bode稳定性判定的时候又允许多个交点的存在.然而一些求知欲较强的优等生往往会对一些复杂Nyquist/Bode曲线的相位、增益裕度求取和分析感兴趣,但又很少有教材对该问题进行深入探讨.为了培养优秀学生对这门课程的兴趣,本文通过实例分析使得相位、增益裕度的定义能够适合更一般的线性系统.

一、相对稳定性定义

闭环系统的稳定与否可以通过Nyquist稳定性定理进行判定,也就是通过穿越次数和开环不稳定极点之间的关系来获得闭环不稳定极点的个数.其公式为Z等于P+2N,其中Z为闭环不稳定极点个数,P为开环不稳定极点个数,N为正、负穿越的代数和.该判定定理包括后续推导出利用Bode图稳定性判定定理,并没有对系统的Nyquist/Bode曲线的形状进行限制.

定.另一方面,Matlab控制工具箱提供的allmargin（sys）函数就能同时求取所有ωc和ωg及相对应的r和h值,同时还能给出闭环系统的稳定与否.为此,下文将对此深入剖析对于一般线性系统的相位裕度和增益裕度的定义和作用.

二、相对稳定性概念的深入

从Nyquist稳定性判定理中并不能直接推出,γ和h大于0系统必定稳定.相位、增益裕度的定义更多是从模型的摄动来考虑的,即分别从增益摄动和相位的摄动.通过相位、增益摄动后使得一个系统从稳定/不稳定变成临界稳定,而这个摄动的最大值分别称为相位裕度和增益裕度.根据该理念,下面对一般线性系统的增益裕度和相位裕度进行重新分析.

1.增益裕度.考虑G（jw）和kG（jw）的Nyquist曲线如图1所示,其中0<k<1.原G（jw）经倍乘k后被压缩,点A1（单位圆外）,移动到B1（单位圆内）,点A2移动到B2,这样曲线kG（jw）正、负穿越代数和较G（jw）增加了1次,如果原系统闭环稳定,则kG（jw）系统闭环不稳定；

通过上面的分析,教材中的相位裕度和增益裕度的定义只适合一类系统的相对稳定性分析.对于更为一般系统的相对稳定性分析更应该注重对相对稳定性的理解而不是简单记住相关公式.

通过对一般线性系统中相对稳定性中的相位裕度和增益裕度的定义的深入探讨,完善了相位裕度和增益裕度的定义,使其能够描述更为一般的线性系统.

参考文献：

[1]孔祥东,王益群.控制工程基础[M].第3版.北京:机械工业出版社,2008.

[2]胡寿松.自动控制原理[M].第5版.北京:科学出版社,2007.

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