原创《几何观点下的主成分分析法知识点》
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摘 要：主成分分析法在教材里,多使用公式推导,缺乏几何直观解释.本文针对上述问题,引入几何观点,对主成分分析法的知识点进行分解,并给予几何解释和分析.文章为学生直观理解主成分分析法提供一个几何视角.
关键词：主成分分析；协方差矩阵；向量运算
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）22-0172-02
在教学过程中,系统工程、多元统计分析等课程里关于主成分分析内容的介绍,现有教材里多使用公式推导来抽象解释,缺乏几何直观解释,从而影响了学生对于该方法的直观理解.本文结合实际教学经验,尝试从解析几何的角度出发,分解并介绍该方法的各个知识点,为学生深入直观理解该方法提供一个新的视角.
一、主成分分析法概述
主成分分析（Principal Component Analysis,PCA）是系统工程学中的一种矩阵数据处理方法,用于分析系统中影响因素所对应的指标向量,通过坐标系变换的方法,将原有众多相关的指标向量组转换为新的少数不相关指标向量组,从而达到系统降维、提炼潜在抽象因素的目的.
二、知识点分解
1.问题描述.设对某系统的研究涉及n个指标,分别用x1,x2,…,xn来表示,这个n个指标构成的n维向量Xi等于（x1,x2,...,xn）,可以认为是Xi 在n维空间上的一个样本点,设系统中有m个n维样本点,可表示为X等于（X1,X2,…,Xm）T,其中X为m行n列的矩阵.寻找一组新的坐标系来代替现有的n维坐标系,使得在新的坐标系下,各个坐标向量相互独立,且样本点在新坐标系里,在各个新坐标轴方向上的位置分布,依次有最大的方差.
2.矩阵向量积的几何意义.矩阵向量积即为矩阵乘以向量,记为a`等于Aa,其中A为矩阵,a和a`为向量.该乘积的几何意义为,向量a在矩阵A的作用下经过旋转或者拉伸后得到的新向量a`,或者说矩阵向量积导致点在矢量空间里运动,即旋转或平移.
三、结束语
文章从解析几何的角度对主成分分析法的知识点进行了分解和内容分析,使得学生在课堂学习过程中能够透过繁杂的矩阵运算,从几何角度直观地看到各个知识点背后所蕴含的技巧与方法,从而直观理解PCA方法解决工程问题的数学本质.
主成分分析论文参考资料：
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