原创《积累数学活动经验，感受分类思想方法分割三角形实验的设计和》
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魏玉华1,董林伟2
（1.江苏省苏州市高新区实验初级中学,215011；2．江苏省中小学教学研究室,210013）
摘 要：从“等腰三角形的轴对称性”第二课时后的一个常见练习和第三课时中的一个常见活动出发,给第三课时设计了一个“分割三角形”的片段性实验：通过一系列折纸活动,按照从特殊到一般、从猜想到论证、从实物到技术的研究思路,实现对不同三角形的等腰分割,并将过程与结果、操作与思维、实验与论证、证实与证伪统一起来.由此,让学生在活动中积累数学活动经验,感受数学分类思想.
关键词：数学实验折纸等腰三角形活动经验分类思想
三角形是几何图形中非常重要,也是研究较多的图形.苏科版初中数学教材八年级上册第2章第5节“等腰三角形的轴对称性”便较为系统地研究了等腰三角形、等边三角形和直角三角形的有关性质.这一节共分为三课时：第一课时探究了等腰三角形的重要性质“等边对等角”,第二课时探究了等腰三角形的判定以及等边三角形的性质与判定,第三课时探究了直角三角形的重要性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.
在第二课时之后的练习中,我们经常会看到这样一题：
已知三个等腰三角形,如图1所示.
(1)顶角为36.的等腰三角形（如图①）具有一种特性,即经过它的一个顶点的一条直线可以把它分割成两个小的等腰三角形；
(2)在探索了(1)中命题之后,小颖发现下面两个等腰三角形（如图②③）也具有这种特性,请你在图中分别画一条直线,把它们分割成两个小的等腰三角形.
此题重点考查了学生对等腰三角形判定（即等角对等边）的掌握,但从作业的反馈来看,学生的作答情况并不乐观.
而在第三课时中探究直角三角形的性质时,也有一个类似的操作活动：
你能用折纸的方法将一个直角三角形分割成两个等腰三角形吗？
既然某些特殊的等腰三角形、直角三角形都具有这样的性质,即经过某个顶点的一条直线可以将其分割成两个等腰三角形,那么普通的三角形是否也具有这样的性质呢？如果不具有,能否降低分割的要求,使得分成的两个三角形中的一个为等腰三角形呢？这样一来,便从特殊到一般系统地研究了三角形的等腰分割,不仅解决了练习中学生的困惑,巩固了等腰三角形的判定,而且能得到直角三角形的重要性质,完成第三课时的教学目标.同时,在普通三角形的分割中,因为分割方法的多样化,需要做到不重不漏,这其中又渗透了分类的数学思想方法.此外,除了知识和技能上的收获,学生更能在数学实验中形成解决问题的方法,获得挑战成功的体验,从而积累数学活动经验,发展数学应用意识,可谓一举数得.
基于这样的思考,笔者在《等腰三角形的轴对称性》的第三课时中设计了“分割三角形”的片段性实验.其主要目的是：通过“分割三角形”的折纸活动,巩固等腰三角形的判定,进而发现直角三角形中的两个重要结论；通过探究普通三角形的分割,获得从特殊到一般的体验,感受分类的数学思想方法,积累数学活动经验,发展数学应用意识.
一、实验内容与步骤
【实验准备】
顶角为36.、90.、108.的等腰三角形纸片,普通直角三角形纸片、含30.角的直角三角形纸片,普通锐角三角形和钝角三角形纸片.
【活动1】分割等腰三角形
通过折纸,分别将如图2所示的等腰三角形分割成两个小等腰三角形.说明你的分割过程.
此活动是在第二课时的基础上,为巩固等腰三角形的判定,初步感受分割线的确定方法而设计的,对有些学生来说有一定难度.教师应充分调动学生的主动性,鼓励学生大胆尝试,用心观察,积极思考,为后续两个实验活动做好铺垫.分割线的确定方法并不唯一,学生可以从刚学习的判定定理“等角对等边”出发,即从角的方向进行思考,如折底角的平分线（如图3）；当然也可以从等腰三角形的定义出发,即从边的角度进行思考,如折腰上的垂直平分线（如图4）,或构造与底边相等的线段（如图5）.对于不同的方法,都应予以鼓励.在分割线确定后,只能保证其中一个三角形是等腰三角形,此时还需判断另一个三角形也为等腰三角形,学生可能通过度量,或者通过折纸,进行初步验证.但是,度量和折纸的方式并不严谨,最后要引导学生通过说理进行证实.
[活动2]分割直角三角形
(1)将如图6所示的普通直角三角形纸片分割成两个小等腰三角形,探究折痕长和直角三角形斜边长的关系,你有怎样的发现？说明理由,并与同伴交流.
(2)任取一张直角三角形纸片,还能将其分割成两个小等腰三角形吗？如果能,(1)中发现的结论还成立吗？
(3)将如图7所示含30.角的直角三角形纸片分割成两个小等腰三角形,探究各条线段的长,你有怎样的发现？说明理由.
此活动是为获得直角三角形中的两个重要结论而设计的.有了第一个活动的铺垫,分割线很容易找到.在探究分割线与斜边长的关系时,学生依然会有两种思路：一是度量,二是折叠.因为这是给定的直角三角形,不具有普遍性,因此再让学生任取一张直角三角形纸片试试看,最后通过说理进行证实.同样地,在含30.角的直角三角形的探究中,方法与之类似.通过实验可以得到直角三角形中的两个重要结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；含30.角的直角三角形中,30.角所对的直角边是斜边的一半.
【活动3】分割一般三角形
(1)分别在如图8所示的锐角三角形和钝角三角形纸片上画一条线,将每个三角形分割成两个三角形,使其中一个是等腰三角形,试试看,这样的分割线最多能画多少条？并与同伴交流.
(2)在几何画板中进行动态演示,检验你的分割方法是否正确.
(3)不同分类下产生的分割线会不会重合呢？在怎样的条件下会重合？用几何画板检验你的猜想.
与前两个活动相比,实验的要求有所降低,只需保证其中一个三角形为等腰三角形,这就出现了多种分割方法.为了不重不漏地找出所有的分割方法,需要进行分类讨论,此活动就有了一定的难度.教师要适当放慢课堂节奏,让学生先大胆尝试,再小组讨论；然后引导学生总结分类的层次和标准.原来三角形的哪一条边作为分割后等腰三角形的一边呢？有三类：AB、BC、AC.这条边作为等腰三角形的哪一条边呢？有两类：腰、底.以锐角三角形的最短边为例,即以边AB作为分割后等腰三角形的一边,可能的分割方法有：(1)边AB作腰,点A为顶角的顶点,点B落在边BC上；(2)边AB作腰,点A为顶角的顶点,点B落在边AC上；(3)边AB作腰,点B为顶角的顶点,点A落在边AC上；(4)边AB作腰,点B为顶角的顶点,点A落在边BC上；(5)边AB作底.这五种分割方法的折纸过程与结果见图9.另外两边的分割方法与此类似,钝角三角形的分割方法也与此类似.此后,教师可以借助几何画板进行动态演示,揭示数学本质,检验实物操作的正确性,如图10.
此外,细心的学生可能会有这样的疑问：图9中不同分类下产生的分割线会不会重合？对此,教师可以让学生先独立思考,发表见解,再小组讨论；然后借助几何画板进行动态演示,揭示数学本质,即当某个角为60.时一些分割线会重合,如图11,最后让学生进行说理.
在上述三个环节的教学中,要及时引导学生对实验活动进行总结和归纳,可从知识技能、问题解决、数学思想等角度进行概括.
二、实验说明
数学实验要充分体现过程与结果、操作与思维、实验与论证、证实与证伪的统一.在“分割三角形”实验中,上述“四个统一”的体现如下：
(一)过程与结果的统一
“分割三角形”实验中有三个操作活动：从等腰三角形的分割到直角三角形的分割,最后对普通三角形进行分割.它遵循从特殊到一般的研究思路,将知识发生、发展的过程充分展现,需要鼓励学生动手尝试,在尝试中获得过程性知识,即伴随数学活动过程的体验性知识,如对分割方法不断尝试的体验,对活动之间联系的体验,对任务挑战成功的体验等.活动不是目的,而是手段,它是为获得数学结论、形成数学方法、感悟数学思想而存在的,因此,每一个活动都应该有一个明确的指向,即实验目的,不能为了活动而活动.教师在教学中尤其要关注问题的设置,活动的引领,使得活动在充分展示过程的同时,逐渐获得所需要的数学结论,将过程与结果相统一.
(二)操作与思维的统一
根据教育心理学家皮亚杰的认知阶段发展理论,初中阶段正是学生心理发展的过渡期和转折期,学生的认知发展水平正由具体运算阶段进入形式运算阶段.进一步说,初中学生的抽象逻辑思维在很大程度上还属于经验型,从八年级开始才由“经验型”向“理论型”转化,但是这种转化不是在短时间内完成的,大约到高中二年级才初步完成.这也解释了,为什么同样的题目要求,学生在作业中会出现困难,但是在活动1中却能很好地完成.这也告诉我们,有些看似简单的问题,对学生来说有一定的难度,因为学生的抽象思维、逻辑思维还没有发展到与题目难度相应的水平.在这样的情况下,我们便不能忽视操作的力量,而要从可视化的操作材料人手,在操作中寻找办法.但是数学是思维的科学,好的教学不仅要注重知识技能的讲解,还应关注学生思维的发展,因此数学课自然不能仅停留在操作层面,通过操作活动发展学生的直观思维、创新思维和发散思维才是操作的意义所在.
(三)实验与论证的统一
数学结论的获得往往是在实验的基础上先得到直觉猜想,再通过逻辑推理的方式给予严谨的证明.可见,完整的数学往往包含两个方面,一个是欧几里得式的演绎科学,另一个是实验性的归纳科学.在“分割三角形”实验中,就体现了实验和论证的统一.前两个活动中,首先通过折纸,使其中的一个为等腰三角形,找到分割线,接下来利用等腰三角形的判定,证明剩下的一个也为等腰三角形.第三个活动中,首先通过操作和观察,发现某些分割线非常相似,于是得到可能重合的猜想,接下来利用几何画板进一步探究,发现某个角为60.时有些分割线便重合,最后用说理的方法进行论证.这便使学生在“做数学”的过程中感受了探索和发现的乐趣,在论证中又体会了数学的严谨.
(四)证实与证伪的统一
传统的数学教学更多地关注证实,而证实只是部分地解决了“是什么”和“为什么”两个问题,因为关于问题产生的缘由以及解决问题的方法过于单一.长此以往,必然会给学生一种真理至上的错误认识,学生的怀疑精神也会慢慢地消失殆尽.因此,教师在教学中还需适当渗透证伪的思想和方法.在“分割三角形”实验的第二个活动中,在探究给定的普通直角三角形的分割时,学生通过折纸活动获得了猜想,但是教师不急于验证猜想,而是让学生再任取一张直角三角形纸片,看能不能得到相同的结果.虽然用经验来证实猜想的方法并不严谨,但是一个反例的出现却可以推翻猜想,即证伪也是检验猜想的一个方法.这里既渗透了归纳的思想,揭示了合情推理的本质,又能让学生感受证实与证伪之间的联系.
数学活动论文参考资料：
小结,这篇文章为关于对写作三角形和分割和数学活动经验论文范文与课题研究的大学硕士、数学活动本科毕业论文数学活动论文开题报告范文和相关文献综述及职称论文参考文献资料有帮助。
