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数学建模类毕业论文的格式范文 和数学模型数学建模模型思想类论文例文

版权:原创标记原创 主题:数学建模范文 类别:本科论文 2024-03-24

《数学模型数学建模模型思想》

本文是数学建模相关毕业论文的格式范文和数学建模和数学模型和思想相关毕业论文的格式范文。

赵世恩 于然

(首都师范大学初等教育学院,北京 100048)

[摘 要] 模型思想是重要的数学思想之一,《数学课程标准》明确指出要使学生初步形成模型思想.由于小学数学知识以及小学生问题解决能力的局限,学生很难有机会经历完整且严密的数学建模过程,这就是在小学阶段渗透模型思想的困难所在.本文在明确了数学模型、数学建模及模型思想概念的基础上介绍了一种简化的数学建模全过程.并以烙饼问题、鸡兔同笼和植树问题为例,展示了如何让学生亲身经历简化的数学建模全过程,在课堂中逐步渗透模型思想.引导学生使用已有模型去解决实际问题,并加深对数学模型的认识.

[关键词] 数学模型;数学建模;模型思想

[中图分类号]G623.5[文献标志码]A[文章编号]1002-1477(2018)08-0031-06

[收稿日期] 2018-01-28

[基金项目] 国家自然科学基金资助项目(11401399).

[作者简介] 赵世恩 (1981-),男,河北蔚县人,博士,副教授;于然 (1994-),女,河北唐山人,硕士研究生.

R·柯朗和H·罗宾在《什么是数学》中指出:“毫无疑问,一切数学的发展在心理上都或多或少的是基于实际的.但是理论一旦在实际的需要中出现,就不可避免地会使它自身获得发展的动力,并超越直接实用的局限.”[1]这种从应用科学到理论科学的发展趋势,正是模型思想不断得到重视的体现.模型思想不仅体现在数学学科本身,到了中学,模型思想在物理、化学、生物等学科中也有着广泛的应用.由此可见,模型思想对一名学生在理科方面的发展起到了关键性的作用,这也是要求我们在小学阶段就必须渗透模型思想的重要原因.由于小学数学知识以及小学生问题解决能力的局限,学生很难有机会经历完整且严密的数学建模过程,这就是在小学阶段渗透模型思想的困难所在.因此,基于小学数学的教学内容如何渗透模型思想,一直以来都是小学教育中值得探讨的基本问题.

一、相关概念界定

所谓数学模型,就是根据特定的研究目的,采用形式化的数学语言,去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构[1].数学模型有广义和狭义之分.从狭义上说,在高等数学中,我们可根据数学的不同分支来对数学模型进行分类.此时,数学模型可分为规划模型、图论、优化模型、概率模型、常微分方程等.事实上,义务教育阶段的数学模型很难以数学分支进行分类.从广义上说,数、方程、空间几何体都可以视为数学模型[2].但正如有关文献指出的,我们应避免“泛模型化”的倾向,切忌将所有知识都看作数学模型.因此,在小学阶段,数学模型这个概念合理的解释是:根据已有的实际问题,用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式,以及各种图表、图形等都是数学模型[3],即我们所说的数学模型是与实际问题紧密联系的.

所谓数学建模,就是通过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程 [3].这一过程的步骤可用如图1所示流程图来体现,其中最关键、最核心的步骤就是将实际问题抽象成数学模型.

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径[3].模型思想的最本质特征是模型的建立和问题的求解是分离的.建立和求解模型的过程包括:从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程、不等式、函数等,表示数学问题中的数量关系和变化规律,找出结果,讨论结果的意义.

美国数学家哈尔莫斯(P.R.Halmos)指出:“学习数学的唯一方法是做数学.”事实上,只有让学生亲身经历了数学建模的全过程,才能更好地渗透模型思想.但是,在小学阶段,学生很难有机会经历完整且严密的数学建模过程,这就是在小学阶段渗透模型思想的困难所在.

基于上面的分析,对于小学生建模思想的渗透,我们以最重要的步骤,即“抽象成数学模型”作为切入点,力求让学生经历“简化的数学建模全过程”.这一过程可分为以下四个环节:基本假设→符号说明→模型建立→模型求解.

对于小学生来说,基本假设是指读懂题设给出的基本条件;符号说明是指从题设条件中抽象出一些字母或者几何元素来代替基本假设;模型建立是指把这些符号之间的关系建立起来;模型求解是指根据建立的模型去求解,求解方式包括解方程、利用几何特征、计算、逻辑推理等等.

二、通过数学建模的过程感悟模型思想

在小学阶段,我们并不是要求学生去学习数学建模,而是让学生感知模型思想,而感知模型思想最好的方式就是让他们经历“简化的数学建模全过程”.在小学数学教学过程中,尤其是学完解方程之后,“行程问题”“工程问题”等都是很好的渗透模型思想的素材.事实上,我们还可以进一步挖掘教材,寻找合适的教学内容,尤其是在问题解决环节,有意识地培养学生的模型思想.下面我们就列举“烙饼问题”“鸡兔同笼问题”以及“植树问题”这三个实例,给出渗透模型思想的教学建议.

1.“烙饼问题”

以义务教育课程标准实验教科书《数学》(四年级上册)105页的“烙饼问题”为例:每次最多只能烙2张饼的一面,两面都要烙,每面3分钟,爸爸、妈妈和我每人一张,怎样才能尽快吃上饼?下面是教师们经常使用的教学过程:

(1)探究烙两张饼的最优方法.结论:要想尽快地把饼烙完,就不能空锅,两张饼同时烙更省时.

(2)探究烙三张饼的最优方法.结论:要想最省时,就要保证锅里始终有2张饼.

(3)探究规律.一是探究双数饼最省时的烙法;结论:双数饼以每两张为一组烙最省时.二是探究5张饼最省时的烙法;结论:烙5张饼可以先以两张为一组烙,剩下的3张为一组用“省时法”烙;三是探究烙7、9、15、100张饼最省时的烙法.

(4)总结规律.引导学生发现:饼数乘烙一面饼所用的时间,就是烙饼的最短时间(饼数×烙一面的时间等于烙饼所需的最短时间).

在上述教学片段中,教师首先让学生探究两张饼的最优烙法,初步渗透优化思想在解决问题中的应用,形成寻找解决问题最优化方案的意识,为探究三张饼的最优烙法奠定基础;寻求烙三张饼的最优方法是本课的关键,为后面的学习打下基础;研究规律环节通过学生独立思考、小组合作、对比分析,逐步探究出烙多张饼的最优方法.学生由操作学具到摆脱学具,由动作思维到抽象思维,层层深入,思维能力得到了锻炼.

但是,这种教学方法终究还是没能将建立模型与求解模型的过程分开,在探究过程中始终将问题解决依托于现实生活情境中,没有从实际问题中抽象出带有数学符号的数学模型,不利于模型思想的渗透.这种情况下,学生在问题解决的具体过程中容易受到现实情境的干扰.若将实际问题抽象成数学符号后,建立数学模型再去求解,就可以有效排除外界因素的干扰和约束.

事实上,从高等数学的角度来看,“烙饼问题”属于动态规划问题,它虽然没有固定的模型,但是我们尝试将“烙饼问题”中的各个要素抽象成“几何元素”,根据前面提到的四个环节,对“烙饼问题”建立数学模型(见表1),展示简化的数学建模全过程.

容易看到,在上面数学建模的全过程中,将“烙饼问题”中的各个要素抽象成“几何元素”是学生最难想到的.为了克服这一点,可以在烙1张饼的时候直接展示数学建模的全过程,而到了烙2张和烙3张饼的时候,让学生自己探究.这样,学生就亲身经历了简化的数学建模全过程.除此之外,由于在连线的时候,学生可以不考虑具体的烙饼过程,因此学生就能进一步感知模型思想最重要的特征,即模型建立和模型求解是分离的.

事实上,上面的模型在小学阶段是有所表现的.以义务教育课程标准实验教科书《数学》(六年级下册)104页的“七桥问题”问题为例:18世纪东普鲁士的哥尼斯堡城,有一条河穿过,河上有两个小岛,有七座桥把两个岛(A,B)与河岸(C,D)联系起来(如图2).有人提出一个问题:一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥?后来大数学家欧拉把这个问题中的相关要素用“点”和“线段”代替,建立了数学模型.教师们在讲授这个问题时,有必要将它和“烙饼问题”结合起来,加深学生对这种模型的认识.

2.“鸡兔同笼”问题

以义务教育课程标准实验教科书《数学》(四年级下册)103页的“鸡兔同笼”问题为例:大约1 500年前,我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题——“鸡兔同笼”问题:今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?对于四年级的学生来说,由于他们还没有学习“字母表示数”和 “简易方程”等内容,因此无法采用建立方程的方式来解决问题,教师主要介绍“列表法”和“假设法”.从广义的角度来看,这些方法也属于利用数学模型求解,但是这些方法都没有渗透模型思想.令人感到庆幸的是,类似的题目出现在五年级上册“实际问题与解方程”的练习题当中(如图3).

小学教材中,能够让学生经历较为完整的数学建模全过程的素材要数方程模型了,因此采用建立方程模型的方式,通过实际情境→分析已知量、未知量,找出等量关系→建立代数方程模型→模型求解→验证→解释实际问题的过程来解决问题(见表2).

在完成了上述讲解后,教师应立即让学生利用相同的思路,自主探究,解决经典的“鸡兔同笼”问题.这样,便可使学生亲身经历完整的数学建模过程,同时能够让学生在解决问题的过程中感悟模型思想.

3.“植树问题”

小学数学课程中的“植树问题”通常表述为:同学们在全长20 m的小路一边植树,每隔5 m栽一棵,两端要栽,一共要栽多少棵树?(如图4)

“植树问题”的关键点在于如何理解“棵数”与“间隔数”之间的关系,学生认为是“距离÷间隔长等于棵数”,而事实上,在不同的题设条件下,这一关系式不一定能够成立.

一般地,对于植树问题都是从两端植树开始研究,为了更好地抽象出“点—段”对应关系,建议从“一端植树”作为切入点(如图5),将“树的棵数”视为“点的个数”,将“树的间隔数”视为“线段的条数”,此时恰好有模型“点的个数等于线段的条数”.这样可以降低学生学习的难度,省去了“棵数”与“间隔数”不一致的干扰,学生自然直接地聚焦到“点—段”之间的对应关系,有利于学生顺利建立起“棵数等于间隔数”的数学模型,为后面的探究作铺垫.

在此基础上进一步探究和优化,若“两端植树”,就是在一端植树的模型基础上加上一棵树,则“棵数等于间隔数+1”;若“两端不植树”,即在一端植树的模型基础上减去端点的一棵树,则“棵数等于间隔数-1”;若“循环植树”,就是将一端植树的线段首尾相连,恰好形成一个圆环,则“棵数等于间隔数”的数学模型保持不变.

在义务教育阶段,模型思想的渗透至关重要,这就要求教师在教学过程中结合学生的认知水平,引导学生由浅入深地经历数学建模的全过程,逐步完成从用字母表示数到建立简单的数学模型的过渡,为中学的数学学习作准备.

对于学生模型意识的培养和建模方法的指导,要因材施教,根据具体内容和具体年级来制定不同层次的要求.小学阶段学生的认知能力较弱,要结合日常实例以及常规教学对学生进行模型及模型意识的渗透、点化.这样做的目的是在小学数学教学过程中渗透模型思想,通过具有模型功能的模型载体,来帮助学生在思维上实现数学抽象,从而为后续学习提供数学思想上的基础支持.

三、通过数学模型的应用巩固模型思想

如果将“从实际情境到数学模型”的过程叫作建模的过程,那么引导学生进一步经历将数学模型应用于更加广泛的实际情境的过程,就可以称之为“反建模”的过程[4].从某种意义上讲,模型思想的应用就是一个“反建模”的过程[4],也可以说是将一个问题的解决拓展为一类问题的解决.

1.“烙饼问题”的应用

在实际生活中,不可能像“烙饼问题”中的方法去烙饼,但与“烙饼问题”相似的情境却经常出现,比如人教版数学教材四年级上册107页练习题的第二题:东东、晶晶和红红三位同学要去量身高、验视力,每项检查都要3 min,测试身高和视力的医生各有一位,他们最短需要多长时间能做完这些检查?

图6“烙饼问题”的应用采用上一节相同的模型,将题目中的相关要素抽象成“几何元素”进行建模,具体地说,把每个人需要参加的两项检查看作两个不同的点,连线表示两人同时做检查,用时最短的前提是保证必须有两个人同时做检查,每项检查没有空缺(如图6).

最终,我们得到最省的时间是9 min,具体的一种方案是:第一步,东东测身高和晶晶测视力同时进行;第二步,晶晶测身高和红红测视力同时进行;第三步,红红测身高和东东测视力同时进行.

2.“鸡兔同笼”问题的应用

“鸡兔同笼”问题中的等量关系“鸡的数量×每只鸡脚的数量+兔的数量×每只兔脚的数量等于脚的总数”就是一个数学模型,即把实际情境中的已知量和未知量通过方程建立起联系,通过已知量计算出未知量的数学模型.

日本的“龟鹤算”问题也是从我国的“鸡兔同笼”问题演变来的.在我国古代,类似于“鸡兔同笼”问题数量关系的情境也经常出现.比如明代珠算家程大位著的《算法统宗》中有一道诗歌写成的题目:一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁[5]?这些都是“鸡兔同笼”问题的实际应用,此处不再详解.

学生认为这类题目完全可以用算式的方法来解决,下面以一道稍有难度的题目为例(见表3),让学生更显著地体会建立方程模型的优势.

3.“植树问题”的应用

在日常生活中,应用“植树问题”数量关系的实际情境经常出现,比如对于计算地铁站数的问题.如果要计算乘坐北京地铁一号线从五棵松站(编号108)到国贸站(编号122)共有多少个站点,我们便可以应用“植树问题”的模型(见表4).

与此类似的问题十分常见,比如想要在北京地铁二号线上设置站点,我们知道,地铁二号线的轨迹可以近似地看作一个圆圈,因此有“站点数等于间隔数”,这恰恰对应植树问题中“循环植树”的模型.

除此之外,“植树问题”数量关系中蕴含着的思想方法,对于现实生活中数学知识的思考与理解也是有益的.比如国庆阅兵时徒步方阵共有350人(不包含领队在内),按照每行25人,共14行列队,根据《队列条令》规定,队列人员之间的距离(前一名脚跟至后一名脚尖)通常约75 cm,问方阵的长度是多少?解决这道题的思路与“植树问题”相似,将队列人员看作“点”,队列人员之间的距离看作“间隔”,方阵的长度为队列人员之间的距离75与方阵的行数14减去1的乘积,即75×(14-1)等于975(cm).

就“植树问题”而言,可将其拓展到相应的一类题,如计算时间的问题、锯木头问题、上楼梯问题等,它们的相同点在于这些问题中都存在点与间隔之间的对应关系,可建立“点—段”模型.如果教师在教学过程中设置相应的练习题进行练习和巩固,既可以达到举一反三的教学效果,又有利于培养学生透过现象揭示本质的洞察能力,体会模型思想的应用.

学习数学的意义在于能够对现实生活中的实际问题提出有效的解决方案,用数学模型解决实际问题,使学生在实际应用中了解新问题、吸收新知识、拓展新认知,并构建自己的知识理论体系,从而形成积极自觉的数学建模意识与思想,这不仅是学生真正掌握数学知识的具体表现,也是学生感悟模型思想价值的重要环节.数学模型从情境中来,也要回归到情境中去,需要在生活现实背景中建构提炼,需要在现实情境中进行检验验证,更要广泛应用于生活,解决生活中的实际问题.总之,在数学教学中融入现实情境,引领学生经历建模过程,构建数学模型,既可以调动学生原有的数学活动经验,又能够升华学生对数学模型的认识,促使学生在更高层次上感悟到模型思想与数学建模的价值与魅力.

[参 考 文 献]

[1] R·柯朗,H·罗宾. 什么是数学[M]. 上海:复旦大学出版社,2012.

[2] 张劲松. 数学模型与数学教学[J]. 课程·教材·教法,2008,28(3):42-47.

[3] 史宁中.义务教育数学课程标准(2011年版)解读[M].北京:北京师范大学出版社,2011:106.

[4] 郜舒竹.让学生经历“植树问题”反建模的过程[J].教学月刊小学版(数学),2017(10):4-6.

[5] 章小亮.中国古代小学算题研究[D].上海:华东师范大学,2008.

[责任编辑:陈学涛]

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