原创《中国古代记数法与其数学教育意义》
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谈到中国古代数学,不由得对我国不久前去世的著名数学家吴文俊先生产生深深的怀念.他是第一位认识到中国古代数学的特点和重大意义的数学家.1992 年,在《纪念李俨钱宝琮诞生100周年国际学术研讨会贺词》中,他对中国古代数学作了如下的评价：“中国传统数学的发展,自有其与西方迥异的途径与体系.位值制是我国独有的重大创造.奠基其上的各种算法化的计算方法,是我国传统数学的特点之一,通过天元的引进,并使一些几何问题也可有系统地化为方程问题进行算法化的处理.近代数学之所以凌驾于以往数学之上,一个关键的转折点是解析几何的创立……使艰涩难行的欧几里得式演绎推理转化为易于驾驭的单纯计算,而这正是我国传统数学的特色与所遵循的基本道路……”
本文仅就我国独创的位值制记数法进行一个初步的探讨.
我们现在的记数法全称叫“十进位值制记数法”.采用这种记数法,只用10 个符号,就可以记下无论多大的数（从理论上说）,并且书写和计算都十分简便,以至于马克思称之为“人类最妙的发明之一”.但是这一发明不是一蹴而就的,而是经历了漫长的发展时期.记数法的发展史包含深刻的数学思想,对数学教育有重要的启发作用.
人类最初的记数法,按使用的符号的性质,可大致分为三类.第一类是用专门的符号来记数的,古埃及、巴比伦和玛雅人的记数法都属于这一类.
巴比伦人的文字是刻在泥板上的,因此呈楔形,有趣的是1 和60 的符号只有大小的不同.古埃及的记数法是以10 为基的,巴比伦的记数法则是以60 为基的.玛雅人的记数法的主要特点是使用了一个专门代表20 的符号,形状像一个人的面部,并且是以20 为基的.所有这些符号都是特别造出来用于记数的.
第二类是用现成的字母来记数,古希腊、罗马、印度的记数法都属于这一类.希腊字母有27个,古希腊人用头9 个字母代表1 到9 的数,中间9 个字母代表10 到90 的数,末9 个字母代表100到900 的数.古罗马人的记数法现在还常用来标记顺序,他们只用7 个大写字母记数,并有一套记数规则：相同的字母排在一起表示相加；较小的数排在较大的数的左边表示相减,排在右边表示相加；在一串数字的右下方加一个m,则表示把这个数扩大1000 倍.例如,29635 用古罗马记数法写成：XXIXmDCXXXV.
M·克莱因的《古今数学思想》上载有公元前3世纪后印度的一套记数符号（如图所示）.
他认为“这一组记号的出色之处是它给1 到9 的每个数都有单独的记法”,并推测“这种写法也许是由于以该数名称的第一个字母来代替它而产生的”.如果他的推测正确,则这种记数法也属于第二类.
这两类记数法的一个共同特点是,都用重复书写某一个符号的方法表示更大的数.例如,要表示500,就要把表示100 的符号写5 次.数学史家称之为“加法累数制”.这种方法有两个缺点：一是书写很长,很大的数几乎难以记数；二是计算非常困难,即使专家也很难掌握.例如,古罗马记数法用M 代表1000,要写一百万,就要写1000 个M.
第三类是中国古代和受其影响的亚洲一些地区的记数法.据钱宝琮的研究,殷墟甲骨文中有以下13 个记数符号（如图所示）.
前面四个是专门的记数符号,五、六、七、八、九都是假借字,即借用汉字来表示数.如原是“午”字.百、千二字来历不明,“万”字是“虿”的初字,像一个蝎子.6 和100 都有两种写法.
十、百、千、万的倍数的记法如图所示.
容易看出,20、30、40 的记法也是采用重复同一个符号的方法,但50～80 的记法则不同,明显是两个符号的合文.对比前面的100、1000、10000的记法可看出,几百、几千、几万的记法也是合文,即用1～9 的数字与表示百、千、万的符号合起来记数,写成一个单字,但读起来还是两个音节.例如,甲骨文“八日辛亥允”中的数字是二千六百五十六.数学史家称之为“乘法累数制”,其实没有揭示其本质.
与前两类记数法比较后可以发现,在古埃及记数法中,十、百、千、万的符号是数字,而在中国古代记数法中,这些符号不是数字,而是计数单位.中国古代的记数符号分为两类：数字符号和单位符号.10 以上的数要用两种符号结合起来记,例如,500 记为“五百”不用把“百”的符号连写五次.这样,不但记数很简单,而且计算时只要对相同计数单位的量数作计算就可以了,所有的计算都归结为10 个数码的计算,十分简便.在甲骨文中,数字符号和单位符号是合写在一起的.以后的记数法已不用合文,例如,8620 记为“八千六百二十”.除了没有“零”外,与现代汉语的记法已没有什么区别.
中国很早就有了系统的计数单位,《国语·郑语》记载史伯对郑桓公说：“合十数以训百体,品,具万方,计亿事,材兆物,收经入,行女亥极.”这段话清楚地表明,中国古代的记数法使用了计数单位,其中十、百、千、万、亿、兆、经、女亥都是十进的计数单位.采用这种记数法,很自然地把一个数字的各计数单位按从大到小的顺序排列,很有规律.
采用计数单位是十进位值制记数法发展的关键一步.奇怪的是,在众多的古代文明中,只有中国古代文明做到了这一点.
到公元前2 世纪之后,中国的记数法又有了新的发展,出现了算筹记数法.这种记数法采用小竹棍来摆数字,其记数符号与以前的很不相同,并有纵式和横式两种：
记数时纵式和横式交替使用.《夏侯阳算经》记载了算筹的摆法：一纵十横,百立千僵,千十相望,万百相当.满六以上,五在上方,六不积算,五不单张.
它的一个重大进步是省略了计数单位.例如,八千六百零二十一用算筹摆出来是,百位上是空位,不放算筹.把它与86021 比较可以发现,算筹记数除了没有数码0 之外,与现在的十进位值制记数法只有符号不同这一个差别.可以说,它就是一种十进位值制记数法.
省略计数单位是十进位值制记数法发展的又一关键,而且十分巧妙：单位虽然没有了,但它的作用还在,而记数法却大大简化了,达到了完美的地步.
如果我们把算筹体的数字写在纸上就会发现,表示0 的空位很容易出错或误解,特别是几个0 连在一起时,于是用一个符号表示空位就大有必要了.我国古代通常用□表示空位,为了书写快捷,把□写成0 是很自然的.由此看来,0 的采用,应该是中国古代记数法合乎逻辑的发展结果.西方数学史家一般认为0 是印度人发明的,但是至今无人对发明的过程作出合乎逻辑的说明,虽然古印度数学对0 的特点（如不能做除数）做了一些研究,但这并不能作为发明0 这个符号的证明.
由算筹记数法又发展出珠算（珠算产生的年代已很难确定,中国有关算盘的记载最早出现在3 世纪前后的《数术记遗》一书）,珠算的记数法与算筹记数法基本相同,但珠算计算速度极快.算盘是中国古代最优秀的计算工具,它在数学教育上的价值更是宝贵的.
回顾记数法的发展过程我们看到,记数法经历了最初不用计数单位,进而采用计数单位,最后又省略计数单位这样一个“否定之否定”的发展过程.计数单位在记数法的发展中起到了决定性的作用.美国著名科普作家I·阿西莫夫说“从无开始计数”,意思是0 是记数法的关键数码.以上分析表明,0的产生是省略计数单位的结果,因此单位才是记数法的关键因素,应该说“从单位开始计数”.
进一步还可发现,记数法与记量法是一致的,计数单位相当于计量单位.例如,长度的记量就是先确定一系列长度单位：毫米、厘米、分米、米……
以及相邻单位的进率.如果规定最小单位为厘米,相邻单位的进率为10,则记10 米以下的长度时,也可以像省略计数单位一样省略长度单位.例如,3 米5 分米5 厘米记为355 也是清楚明白的.这时,若要把两个长度相加,只要对好位,就像两个整数相加一样了.如果儿童明白了这些规则,他们就懂得了355 这个长度中为什么两个5 所代表的长度不相同,也不会把5 分米5 厘米写成505.以上的事实和分析启示我们,计数单位是理解多位数记数法和四则运算法则的关键.由此我们可以得出,多位数的认识和四则运算的教学应按以下步骤进行：
1.首先,学习0 至9 的数码.
2.其次,学习进率为10 的常见量的记量法,例如货币、长度.记量法比记数法更为具体,是看得见、摸得着的,又与儿童的生活实际紧密联系,因此儿童更易理解.并且学习记量法也为数码及其计算提供了应用的实例,使儿童看到数的用处,增强他们的学习兴趣.
3.再次,学习保留计数单位的多位数及其计算.例如,35 应先写作3 十5 个,在计算时也带着计数单位进行.
4.最后,在儿童对这种带单位的数及其计算已熟悉后,再学习省略单位的多位数及其计算.
美国数学教学法专家J·W·海敦斯在谈到位值时说：“对于儿童来说,这是一个抽象的、很难理解的概念.”为了帮助儿童理解这一概念,小学数学教学采用了多种直观教具、学具,如中国的“数位器”、美国的“位值箱”等.即使如此,儿童仍常常出现把“一十五”写成105,把37+25 的结果算成512 之类的错误,在整数、小数加减法学习中的主要错误也出在进位和退位上.但是按照以上设计,有了第二步和第三步的学习,儿童将很容易理解所谓位值和进位、退位的概念.实际上,位值的概念也就不需要了,而进位和退位就相当于名数的聚和化.原来的抽象性完全不存在了,变得具体、简单、明白.这一改变使整数记数法及其计算的教学真正科学、易懂,并能节省大量时间.
（作者单位：湖南第一师范学院）
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上文点评:此文为一篇适合不知如何写记数法和数学教育和数学教育意义方面的中国古代专业大学硕士和本科毕业论文以及关于中国古代论文开题报告范文和相关职称论文写作参考文献资料。
