原创《返本归元：基于母题和子题互化演变／》
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【摘 要】解题训练是学生掌握知识、提高能力的有效方式.问题的质量直接影响学生的学习效果.在小学数学解题教学中,可以把问题分为“母题”和“子题”.“母题”是最原始问题,“子题”是由“母题”迁移演变衍生出的新问题.在教学中,根据“母题”,可以通过不同的策略设计出具有不同教学效果的“子题”,也可以为较难的“子题”找出较易理解的“母题”,返本归元,回溯核心知识本真,以达到促进学生理解知识、掌握知识、运用知识的目的.
【关键词】小学数学；“母题”；“子题”；设计策略
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）89-0037-03
【作者简介】杨宇超,江苏省连云港师专一附小教育集团（江苏连云港,222006）教师,二级教师.
在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课程标准”）的课程总目标中,关于“问题解决”方面给出的教学目标是：要使学生“获得分析问题和解决问题的一些基本方法,体验解决问题方法的多样性,发展创新意识”.要让学生体验解决问题的多样性,需要教师返本归元,回到核心知识本身,牢牢抓住解题环节的教学,发现在题目与题目之间存在着一种“迁移演变”关系,这种关系可以看成“母题”与“子题”的关系.
一、“母题”与“子题”的内涵及演变互化
（一）“母题”与“子题”的内涵
所谓“母题”,是指在小学数学教学和习题训练中,使学生能掌握基础知识点的最基本的例题或习题,这些问题具有基础性、独立性和完整性.通过对这些问题加以“改造”,变换问题背景或改变叙述方法或条件,或者设计新的问题求解,就可以演变出新的问题,即“子题”.
如在小学数学四年级“图形与几何”领域关于三角形的教学中,有这样的“母题”：如图1所示,计算三角形ABC的面积.由此“母题”可以演变出“子题”：在三角形ABC的边AC外侧有一点D,连接AD和CD,得到四边形ABCD,利用三角形面积计算公式,求四边形ABCD的面积（如图2）.
图１ 三角形ABC
图2 四边形ABCD
可以看出,“子题”是在“母题”的基础上改造得到的,目的是让学生在计算四边形面积的过程中,加深理解三角形的面积计算公式.
一般来说,“母题”考查的是学生对基本知识的掌握,是原题,提出的问题比较直接；“子题”是由“母题”演变而来的,是“母题”的变式或拓展,形式可以多样.
（二）“子题”的设计形式
“子题”的设计形式可以分为以下几种：延伸类、强化拓展类、娱乐应用类.
延伸类“子题”是指将之前所学的知识与现在所教的知识联系起来,或将现在所学的知识与之后要教授的知识联系起来的问题.通过“子题”的承前启后作用,有助于加深学生的记忆,同时能让学生对知识点的了解更具系统性.
强化拓展类“子题”是将“母题”分解成有关联的“子题”,分解“母题”考查知识,以分步解题的方式强化学生对某一基础知识的理解和运用,举一反三,拓展学生的思维.
娱乐运用类“子题”是用学生喜欢的故事、游戏语言来描述问题,使数学语言在学生脑中形成生动的形象语言,将“母题”中的数学应用带入学生能够接触到的生活化情境当中,既方便学生理解又能增强学生对“母题”知识的实际运用能力,达到深入浅出的效果.
（三）“母题”与“子题”的关系
“母题”是“子题”产生的源头,“子题”是“母题”在知识链上的延伸和扩展,二者有共性又有个性.若将“母题”比作一棵大树的主干,“子题”即为枝干,我们可以通过作为主干的“母题”延伸到作为其枝干的“子题”,为学生提供新的知识场景,也可以通过作为枝干的“子题”反溯回作为主干的“母题”,探寻问题的本质.“母题”与“子题”的关系见图3.
图3 “母题”与“子题”的关系图
二、“母题”与“子题”演变互化的价值寻绎
课程标准指出：数学知识的教学,要注重知识的“生长点”与“延伸点”……处理好局部知识与整体知识的关系.因此,研究“母题”与“子题”的演变转化,对学生的学习和发展具有重要的价值.
通过对题目的归纳总结,由“母题”迁移演变出“子题”,可以增强学生迁移归纳知识的能力；通过降低或提高“母题”难度、改变“母题”表达方式、拓展应用范围,能拓展儿童思维的发散性与深刻性；通过形式迥异的“子题”回溯到同一本质的“母题”,有助于提高学生的逆向思维和解决问题的能力.
三、“母题”与“子题”的演变互化策略
（一）“母题”演变“子题”的设计策略探寻
在小学数学教学中,设计“子题”要立足学生实际,可以遵循以下策略：
1.“向前追溯”和“向后拓展”.
在考查学生的新学知识点时,教师可以设计向前追溯的“子题”,将该知识点与之前所学的知识点联系起来,这样既能考查学生对新学知识的掌握情况,又能加强学生对之前所学知识的记忆,通过知识链条的链接,深化学生数学思维的深度.
教师也可以通过扩展“母题”知识点的运用范围,设计后延类“子题”,与之后要学习的知识点相联系,使知识系统下的知识点互相关联,从而形成一张紧密的知识网,从而拓展学生的数学视野,开拓学生思维的广度.
2.“强化理解”和“启发应用”.
强化理解类“子题”可以帮助学生养成分析问题的能力,使他们的思维有迹可循.如当“母题”要考查的知识点较多、题目整体较为复杂时,可以将题目按照一定的解题顺序分解,使学生明晰题目思考的过程,从而降低理解难度.
教师还要善于启发学生的思维,对于学习能力较强的学生,在他们能够熟练运用已学知识的基础上,可以引导他们将多个知识点进行组合,提高他们综合运用知识解决问题的能力.
3.“寓教于乐”和“寓教于用”.
寓教于乐可以让我们的课堂更加丰富有趣,当学生遇到难以理解的知识点时,教师可以将知识点与他们感兴趣的事情联系起来,吸引其注意力,在构造丰富而又富有乐趣的“子题”的同时,开启学生思维的联想空间.
学以致用是学习的根本目的.对于学生难以理解的抽象数学概念或运算,教师可以联系生活实际,通过富有乐趣的表述,激发学生的探究兴趣和学习积极性,加深学生对知识的理解和运用,达到寓教于用的目的.
（二）“子题”溯源“母题”的迁移路径探寻
在小学数学解题教学中,有些题目中要考查的知识点对学生来说难以掌握,此时,教师可将题目回溯到最基本的题型,返本归元,也就是从“子题”向“母题”逆向发展,通过向学生展现“母题”,使他们透过表象看本质,增强他们对“子题”的理解及其解决问题的能力.
1.以学生的数学思维为原点,还原“母题”的本质要素.
小学生的思维要经历一个由表及里、由浅入深的过程,因此,对于较为复杂的数学符号语言类题目,可以将其按照所考查的知识点和解题步骤分解成基本题型,还原“母题”的本质要素,以简单组合题型的方式考查学生的学习能力.
例1【“子题”】小明在计算算式399+（3417-□）×17时,由于粗心大意,没有看到括号,他最终的计算结果是397,那么原式的正确结果是多少？
上题的描述较为难懂,可以将其还原成“母题”：
【“母题”】若399+3417-x×17等于397,求x等于？此时,399+（3417-x）×17等于？
这样,将“子题”还原为“母题”,有助于学生抓住解决问题的关键,求此时的未知数x是多少的问题,继而可以得出带括号的原题的正确结果.
2.以学生的数学生活为基础,提升“母题”的思维理解.
从题目表象提炼题目中的数学原理,回溯到具有其数学本质的“母题”,可以提升儿童对于“母题”思维的理解.
例2【“子题”】一条裤子打五折出售时卖60元,实际上以48元卖出.这条裤子实际上是几折卖出的？
上述题目中要求几折卖出,必须知道原价是多少,如果学生对打折的概念不清楚,则很难解答.教师可以设计成代数式“母题”,或补充问题,降低难度.
【“母题”】若方程x×0.5等于60,则求x等于？此时48÷x等于？
数学符号语言表达的算式具有抽象性,把原题进行如上转化后,将生活语言表达的数学问题与数学符号语言表达的算式相联系,应用类题目就有了代数原型,学生会更容易理解.
3.以学生的数学学习为中心,归纳“母题”的内涵本质.
低年级学生的数学思维水平较低,当他们面对具有共同基础知识延伸出来的“子题”出现困难时,教师可以将这些题目组织在一起,抽象归纳出“母题”的内涵本质,引导学生的解题方向,升华学生对于数学的认识.
例3【“子题”1】农夫果园今年收获水蜜桃240吨,是今年收获的红富士苹果的2倍,水蜜桃比红富士苹果多收多少吨？
例4【“子题”2】一根绸带长20米,剪去一半后又剪去剩下部分的■,这根绸带还剩下多少米？
分析这两个题目,可以看到它们具有共同的基础知识：多少与倍数.为了使学生顺利解答,可以作如下设计：
【“母题”1】240的■是多少？
【“母题”2】10米的■是多少米？
这样,返本归元,归纳出两道“母题”的设计,能起到提醒和指引解题方向的作用,学生的解答思路会更加清晰.
综上所述,在教学中重视“母题”与“子题”,是提高教学效果的重要手段.设计得当的“母题”和“子题”可以兼顾不同学习能力的学生,能有效促进学生对数学知识的理解和运用,是一种针对性强、实效性强的辅助教学方法,适合推广使用.在教学时,教师应秉承数学的开放性思想,探究更多、更有效的解题教学方法,以加深学生对所学知识的理解和应用,真正实现课程标准中课程总目标在“问题解决”方面要求达到的教学目标.■
【参考文献】
［1］.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］.北京：北京师范大学出版社,2012.
［2］曹才翰,章建跃.数学教育心理学［M］.北京:北京师范大学出版社,2006.
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［4］涂荣豹.数学学习与数学迁移［J］.数学教育研究, 2006（4）:1-5.
［5］郑毓信.数学思想、数学活动与小学数学教学［J］.课程·教材·教法, 2008(5):36-40.
注：本文系2017年江苏省“教海探航”征文竞赛一等奖文章,有删改.
探索论文参考资料：
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